Słów kilka o modelu SIR

June 12, 2021 Off By Adam Gapinski

W tym wpisie chciałbym przedstawić podstawy modelu SIR i wprowadzić pojęcie współczynnika R. Absolutne podstawy dla wszystkich, którzy nie mają nic wspólnego z epidemiologią.

Model SIR jest bardzo prostym modelem epidemiologicznym. Cała populacja o liczebności N jest podzielona na trzy grupy S (susceptible – narażeni), I (infectious – zakażeni) oraz R (recovered/removed – wyzdrowiali/zmarli). Oczywiście N=S+I+R i na początku epidemii S=100%, a odsetek I oraz R wynosi 0%. Z czasem oczywiście te wartości zmieniają się. Aby określić w jaki sposób zachodzą te zmiany musimy wprowadzić dwa parametry β (infection rate – współczynnik infekcji/zachorowań) oraz γ (recovery rate – współczynnik wyzdrowień/zgonów). Przepływ osób pomiędzy grupami odbywa się od S poprzez I do R. Parametr β określa ile osób w danej jednostce czasu przechodzi z S do I (zachorowało), natomiast γ mówi ile osób przechodzi z I do R (wyzdrowienia + zgony).

Mamy zatem zdefiniowane “przemieszczanie się” populacji w ramach modelu SIR. Dla porządku – dynamika modelu jest zdefiniowana równaniami różniczkowymi, ale tutaj nie będziemy sobie tym zawracać głowy. Ma być prosto i zrozumiale, a Ci którzy potrzebują tych równań z łatwością je odnajdą. Tak samo jak równania algebraiczne dzięki którym cały model można “policzyć” na kalkulatorze czterodziałaniowym (o tym może kiedyś będzie).

Teraz oczywiście nasuwa się pytanie “jak to działa”. Najprościej pokazać to oczywiście na wykresach.

Pierwszy – to symulacja dla β=2,5 i γ=0,3. Widać tu szybki wzrost zakażeń (ponad 60% populacji zostaje zakażona w szczycie zachorowań w bardzo krótkim czasie). Szybko byłoby po sprawie, gdyby nie pojemność szpitali. Żaden kraj na świecie nie jest w stanie hospitalizować takiej liczby chorych. Czyli w tej sytuacji mamy absolutnie niekontrolowany wysyp chorych, których nie ma gdzie położyć/leczyć.

Źródło poniższych rysunków: https://dev.to/fredericojordan/graph-and-flatten-the-coronavirus-curve-with-python-6om

Model SIR dla parametrów β=2,5 i γ=0,3

Drugi wykres pokazuje symulację dla β=0,75 i γ=0,3. Mamy zdecydowanie łagodniejszą krzywą zachorowań (pomarańczowa) ale jest ona rozciągnięta w czasie. W stosunku do poprzedniego wykresu mamy w maksimum nie 60% ale około 20% chorych w populacji. Widać, że w tej sytuacji łatwiej jest kontrolować pandemię. Złagodziliśmy krzywą zachorowań (zachorowania zostały rozłożone w czasie) i dzięki temu możemy odciążyć służbę zdrowia i nie zapychać szpitali).

Model SIR dla parametrów β=0,75 i γ=0,3

Jak łatwo zauważyć oba wykresy różnią się tylko i wyłącznie wartością β. Czyli parametrem, który określa nam ile osób zachoruje w danym czasie. A jeśli tak to mamy na to pewien wpływ. Możemy ograniczać wielkość tego współczynnika przez działania ograniczające rozprzestrzenianie się pandemii (obostrzenia, lockdowny, szczepienia o ile są dostępne itd.). Oczywiście chcielibyśmy też mieć wpływ na drugi parametr γ, ale tu musimy czekać na skuteczny lek, albo na wyzdrowienie lub niestety śmierć pacjenta.

Podsumowując – mamy dwa parametry określające dynamikę epidemii. Aby uprościć sytuację i opis rzeczywistości zdefiniujmy współczynnik reprodukcji wirusa – R.
Podstawowy współczynnik reprodukcji zwany R0 (R zero, R nought) zwany też początkowym współczynnikiem reprodukcji określa ile osób jest w stanie zarazić jedna osoba w sytuacji kiedy nie wprowadziliśmy żadnych ograniczeń i 100% społeczeństwa jest podatnych na zakażenie. Inaczej mówiąc jest to parametr, który pozwala porównywać różne wirusy między sobą, aby określić który jest bardziej/mniej zaraźliwy. Nie wnikając w szczegóły możemy ten współczynnik obliczyć znając nasze β i γ. W momencie wprowadzenia ograniczeń i sposobów na kontrolowanie epidemii zaczynamy mówić o efektywnym współczynniku R (Re lub R(t) a czasem Rt).

R=\frac{β}{γ}

Dla wykresów powyżej mamy odpowiednio R=8,33 dla pierwszego i R=2,5 dla drugiego. Widać na nich, że wartość R bardzo mocno wpływa na spłaszczenie krzywej zachorowań. Im mniejszy R tym bardziej spłaszczamy krzywą i mamy mniej przypadków w danym momencie. Dodatkowo należy zaznaczyć, że przy wartościach R>1 mamy wzrost, przy wartościach poniżej 1 mamy spadki, a w sytuacji R=1 liczba przypadków pozostaje na stałym poziomie.

I najważniejsze – w praktyce im niższa (bardziej spłaszczona) krzywa zachorowań tym łatwiej kontrolować epidemię i nie dopuścić do “zapchania” służby zdrowia. Dlatego warto patrzeć na wartości R w czasie trwania epidemii. O różnicach między R0 a R(t) będzie następny wpis.