Słów kilka o modelu SIR

June 12, 2021 Off By Adam Gapinski

W tym wpisie chciałbym przedstawić podstawy modelu SIR i wprowadzić pojęcie współczynnika R. Absolutne podstawy dla wszystkich, którzy nie mają nic wspólnego z epidemiologią.

Model SIR jest bardzo prostym modelem epidemiologicznym. Cała populacja o liczebności N jest podzielona na trzy grupy S (susceptible – narażeni), I (infectious – zakażeni) oraz R (recovered/removed – wyzdrowiali/zmarli). Oczywiście N=S+I+R i na początku epidemii S=100%, a odsetek I oraz R wynosi 0%. Z czasem oczywiście te wartości zmieniają się. Aby określić, w jaki sposób zachodzą te zmiany, musimy wprowadzić dwa parametry β (infection rate – współczynnik infekcji/zachorowań) oraz γ (recovery rate – współczynnik wyzdrowień/zgonów). Przepływ osób pomiędzy grupami odbywa się od S poprzez I do R. Parametr β określa, ile osób w danej jednostce czasu przechodzi z S do I (zachorowało), natomiast γ mówi ile osób przechodzi z I do R (wyzdrowienia + zgony).

Mamy zatem zdefiniowane „przemieszczanie się” populacji w ramach modelu SIR. Dla porządku – dynamika modelu jest zdefiniowana równaniami różniczkowymi, ale tutaj nie będziemy sobie tym zawracać głowy. Ma być prosto i zrozumiale, a ci, którzy potrzebują tych równań, z łatwością je odnajdą. Tak samo jak równania algebraiczne, dzięki którym cały model można „policzyć” na kalkulatorze czterodziałaniowym (o tym może kiedyś będzie).

Teraz oczywiście nasuwa się pytanie: „jak to działa”. Najprościej pokazać to oczywiście na wykresach.

Pierwszy to symulacja dla β=2,5 i γ=0,3. Widać tu szybki wzrost zakażeń (ponad 60% populacji zostaje zakażona w szczycie zachorowań w bardzo krótkim czasie). Szybko byłoby po sprawie, gdyby nie pojemność szpitali. Żaden kraj na świecie nie jest w stanie hospitalizować takiej liczby chorych. Czyli w tej sytuacji mamy absolutnie niekontrolowany wysyp chorych, których nie ma gdzie położyć/leczyć.

Źródło poniższych rysunków: https://dev.to/fredericojordan/graph-and-flatten-the-coronavirus-curve-with-python-6om

Model SIR dla parametrów β=2,5 i γ=0,3

Drugi wykres pokazuje symulację dla β=0,75 i γ=0,3. Mamy zdecydowanie łagodniejszą krzywą zachorowań (pomarańczowa), ale jest ona rozciągnięta w czasie. W stosunku do poprzedniego wykresu mamy w maksimum nie 60%, ale około 20% chorych w populacji. Widać, że w tej sytuacji łatwiej jest kontrolować pandemię. Złagodziliśmy krzywą zachorowań (zachorowania zostały rozłożone w czasie) i dzięki temu możemy odciążyć ochronę zdrowia i nie zapychać szpitali).

Model SIR dla parametrów β=0,75 i γ=0,3

Jak łatwo zauważyć, oba wykresy różnią się wyłącznie wartością β, czyli parametrem, który określa nam, ile osób zachoruje w danym czasie. A jeśli tak, to mamy na to pewien wpływ. Możemy ograniczać wielkość tego współczynnika przez działania ograniczające rozprzestrzenianie się pandemii (obostrzenia, lockdowny, szczepienia, o ile są dostępne itd.). Oczywiście chcielibyśmy też mieć wpływ na drugi parametr γ, ale tu musimy czekać na skuteczny lek, albo na wyzdrowienie lub niestety śmierć pacjenta.

Podsumowując – mamy dwa parametry określające dynamikę epidemii. Aby uprościć sytuację i opis rzeczywistości, zdefiniujmy współczynnik reprodukcji wirusa – R.
Podstawowy współczynnik reprodukcji zwany R0 (R zero, R nought), zwany też początkowym współczynnikiem reprodukcji, określa, ile osób jest w stanie zarazić jedna osoba w sytuacji, kiedy nie wprowadziliśmy żadnych ograniczeń i 100% społeczeństwa jest podatnych na zakażenie. Inaczej mówiąc, jest to parametr, który pozwala porównywać różne wirusy między sobą, aby określić, który jest bardziej/mniej zaraźliwy. Jeżeli znamy nasze β i γ, możemy ten współczynnik obliczyć. W momencie wprowadzenia ograniczeń i sposobów na kontrolowanie epidemii zaczynamy mówić o efektywnym współczynniku R (Re lub R(t), a czasem Rt).

R=\frac{β}{γ}

Dla wykresów powyżej mamy odpowiednio: R=8,33 dla pierwszego i R=2,5 dla drugiego. Widać na nich, że wartość R bardzo mocno wpływa na spłaszczenie krzywej zachorowań. Im mniejszy R, tym bardziej spłaszczamy krzywą i mamy mniej przypadków w danym momencie. Dodatkowo należy zaznaczyć, że przy wartościach R>1 mamy wzrost, przy wartościach poniżej 1 mamy spadki, a w sytuacji R=1 liczba przypadków pozostaje na stałym poziomie.

I najważniejsze – w praktyce im niższa (bardziej spłaszczona) krzywa zachorowań, tym łatwiej kontrolować epidemię i nie dopuścić do „zapchania” ochrony zdrowia. Dlatego warto patrzeć na wartości R w czasie trwania epidemii. O różnicach między R0 a R(t) będzie traktował kolejny wpis.

Autor: Adam Gapiński

Redakcja i korekta: Magdalena Gonta-Biernat